Intervalo de confianza.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/NYW-confidence-interval.svg/300px-NYW-confidence-interval.svg.png

http://bits.wikimedia.org/static-1.24wmf2/skins/common/images/magnify-clip.png

Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la estimación del valor μ.

En estadística, se llama a un par o varios pares de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.[1]

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más probabilidad de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumenta su probabilidad de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ [2] . Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshev.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.

FACTOR DE CORRECCION POR CONTINUIDAD.

El factor de corrección de continuidad es el ajuste de media unidad de medidapara mejorar la exactitud cuándo a una distribución discreta se le aplica unadistribución continua.Casos que pueden surgir:1) Para la probabilidad de que por lo menos X ocurran, use el área por encima de(X ± 0,5).2) Para la de que más de X sucedan, utilice el área por arriba de (X + 0,5).3) Para la de que X o menos ocurran, aplique el área por debajo de (X + 0,5).4) Para la de que menos de X sucedan, emplee el área situada por debajo de (X ±0,5).

Distribución t de Student:

Distribución t de Student
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$\nu > 0\!$ grados de libertad (real)
Dominio	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Función de densidad(pdf)	$\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}\!$
Función de distribución(cdf)	$\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)} \end{matrix}$ donde $\,_2F_1$ es la función hipergeométrica
Media	para $\nu>1$ , indefinida para otros valores
Mediana
Moda
Varianza	$\frac{\nu}{\nu-2}\!$ para $\nu>2$ , indefinida para otros valores
Coeficiente de simetría	para $\nu>3$
Curtosis	$\frac{6}{\nu-4}\!$ para $\nu>4$
Entropía	$\begin{matrix} \frac{\nu+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+\nu}{2}) - \psi(\frac{\nu}{2}) \right] \\[0.5em] + \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $\psi$ : función digamma, : función beta
Función generadora de momentos(mgf)	(No definida)

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimarla media de una población normalmente distribuida cuando eltamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce ladesviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

El área bajo una curva:

Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.

f(x)= x2 + 1
en el intervalo cerrado [1,5]

Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

Observa las siguientes gráficas:

Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

Observa las siguientes animaciones.

El valor exacto del área es:

	136
Área =		aprox. igual	45.3333
	3

Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n---> Infinito.gif (163 bytes)

), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:

Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:

n
	[ f(x*)(x)]
k=1

A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.

Definimos el área bajo la curva como:

Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n--> Infinito.gif (163 bytes)

, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.

f(x)= x2 + 1

	5-1		4
x=		=
	n		n

x0=	1
x1=	1 + x =	1+	4

			n

x2=	1 + 2x =	1 + 2(	4	)

			n
	(...)
			4
xk=	1 + kx =	1 + k(		)
			n

Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que

	4k
xk* = xk = 1+
	n

			4k		1 + (1 +	4k	)2
f(xk*) =	f(	1 +		) =
			n			n

	[		4k		](4/n)
f(xk*) x =		1 +(1+		)2
			n

Desarrollando la expresión anterior, nos queda:

	8(17n2 + 18n + 4)
La suma de Riemann =
	3n2

	136		48		32
La suma de Riemann =		+		+
	3		n		3n2

					136
Area = Límite de la suma de Riemann =
					3

Distribución de probabilidad uniforme

La distribución de probabilidad uniforme es un ejemplo de una distribución de probabilidad es continua. Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición.

Ejemplos de variables aleatorias continuas son:

La estatura de un grupo de personas

El tiempo dedicado a estudiar

La temperatura en una ciudad

Es una distribución en el intervalo [a,b] en la cual las probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mínimo de a hasta el máximo de b. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribución uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.

La función de densidad de una distribución uniforme (altura de cada rectángulo en la gráfica anterior) es:

Donde:

a = mínimo valor de la distribución

b = máximo valor de la distribución

b – a = Rango de la distribución

La media, valor medio esperado o esperanza matemática de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula:

La varianza de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula:

La probabilidad de que una observación caiga entre dos valores se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo ilustrativo

Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante recibe clases en un determinado día entre las siguientes horas: 7:00 - 8:00 - 9:00 - 10:00 - 11:00 - 12:00 - 13:00

1) ¿Cuál es la función de densidad de la variable X?

2) Elaborar un gráfico de la distribución de probabilidades

3) Calcular el valor medio esperado

4) Calcular la desviación estándar

5) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera media hora

6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de 10:00 a 12:15, calcular la probabilidad de recibir esta asignatura.

Solución:

1) a = 7 y b = 13

Reemplazando valores en la ecuación de la función de densidad se obtiene:

2) Elaborando el gráfico de la distribución de probabilidad empleando Excel se obtiene:

Interpretación:

Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6 = 0,167 de altura.

El área de cada rectángulo es:

El área total (rectángulo de base el intervalo 7-13 y altura 1/6=0,167) representa a la suma de todas las probabilidades, y es igual a uno:

3) Reemplazando valores en la fórmula del valor esperado se obtiene:

4) Reemplazando valores en la fórmula de la varianza se obtiene:

5) Llegar en la primera media hora significa que llega a la 7:30. Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre las 7:00 y las 7:30.

Como 7:30 = 7horas + 30 minutos, y el porcentaje que representa 30 minutos de una hora es:

Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre 7 y 7,5

Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos valores se obtiene:

En el siguiente gráfico se muestra la probabilidad calculada:

6) Se debe calcular la probabilidad entre las 10:00 y las 12:15

Como 12:15 = 12horas + 15 minutos, y el porcentaje que representa 15 minutos de una hora es:

Por lo tanto de debe calcular la probabilidad entre 10 y 12,25

Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos valores se obtiene:

En el siguiente gráfico se muestra la probabilidad calculada:

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

Distribución exponencial.

Distribución exponencial
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$\lambda > 0 \,$
Dominio	$[0,\infty)\!$
Función de densidad (pdf)	$\lambda e^{-\lambda x}$
Función de distribución (cdf)	$1 - e^{-\lambda x}$
Media	$1/\lambda\,$
Mediana	$\ln(2)/\lambda\,$
Moda	$0\,$
Varianza	$1/\lambda^2\,$
Coeficiente de simetría	$2\,$
Curtosis	$9\,$
Entropía	$1 - \ln(\lambda)\,$
Función generadora de momentos (mgf)	$\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$
Función característica	$\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$

En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro $\lambda > 0$ cuya función de densidad es:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} & \ \ \mbox{para } x \ge 0 \\ 0 & \ \ \mbox{de otro modo} \end{matrix}\right.$

Su función de distribución acumulada es:

$F(x)= P(X \le x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{para }x < 0 \\ 1-e^{-\lambda x} & \mbox{para }x \ge 0 \end{matrix}\right.$

Donde

representa el número e.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

$E[X]=\frac{1}{\lambda}, \qquad V(X)=\frac{1}{\lambda^2}$

La distribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.

tratamiento de datos de azar

miércoles, 10 de junio de 2015

2.3

Intervalo de confianza.

Distribución t de Student:

Distribución exponencial.

No hay comentarios.:

Publicar un comentario